培养拔尖创新人才，数学教诲的主要性更是不言而喻。近年来，有名数学家丘成桐投入大量韶光和精力用于根本教诲阶段的数学人才培养。日前，在上海数学与交叉学科研究院成立仪式上，丘成桐为来自全国多所中学的丘成桐班授牌，个中包括上海中学和民办华育中学。在授牌仪式上，他为中学生讲授了一堂特殊的数学课。本期刊发部分讲课内容，以飨读者。
数学是一门俏丽且实用的科学，自出身以来，就让所有数学家心驰憧憬。俏丽而实用的数学，在自然界中自然而然地产生，这本身就非常奇妙。更奇妙的是，人们每每追求的是数学的实用代价，但却在这个过程中创造了数学之美。对数学家而言，在探索数学奥秘的路上，美和实用每每会自然产生，这是非常有趣的经历。
实在，每个学者对美都有不同的见地。清华大学求真书院曾约请美术学院刘巨德教授作讲座，讲述艺术家眼中的美。在这里，我也为大家讲一讲数学家和科学家眼中的美。
没有一个学科像数学那样经得起韶光磨练
在我看来，天下上的美，必须以真理为根本，这才称得上“美”。刘教授说，美是划时期、超越时空的。然而，超越时空、唯一能够存在的只有真理。坦白说，我认为真理实在只有一个——那便是数学。没有一个学科能像数学一样，对天下的描述经得起韶光磨练。从古希腊学者到牛顿、爱因斯坦等科学家，再一贯到本日，人类对天下的不雅观察以及据此形成的理论，一直地在变革；在实验室中，随着技能不断发展、精益求精，我们对物质天下的不雅观察也不断得出新的结果，以往的结论不断被推翻。
相对论和量子力学，使得20世纪的科学家产生了不同的不雅观点，它们改变了古典的物理学，使我们对宇宙有了更深一层的理解。无论是极小质子的构造，或者是迢遥的太空，我们现在能够不雅观测到的征象都是古人弗成思议的，因此从某种意义上说，物理学的真理在一直地改变。
在这持续串宏伟的科学发展中，数学家做出了巨大的贡献。在很多主要的根本物理学的发展场合中，每每是数学家靠前，带领着物理学家向前走，然后群策群力地去理解宇宙。
让我们回顾科学界中一个极为主要的发展：牛顿的伟大贡献之一是发展了微积分在物理学上的主要运用，从而引起了数学本身的革命。19世纪初，数学家高斯和黎曼为了深入理解电磁，发展了一套数学理论，这套理论末了由麦克斯韦完成，由此建立了完美的麦克斯韦方程组。在20世纪初，德国数学家、物理学家外尔又通过几何的方法来研究麦克斯韦方程，使它们成为他提出的规范场的一部分，外尔也是第一个提出规范事理的数学家，这些不雅观念成为当代科学的根本。我们也知道，1926年，法国几何学家嘉当发展了联结理论，也便是本日的非交流规范场论。
此后，大量的数学家，包括中国数学家陈省身师长西席在内，都从事非交流规范场的研究。古典的规范场可以说全部是由几何学家完成的。但是规范场在物理学上的量化事情，要等到20世纪60年代才由几位大物理学家完成；到70年代，理论物理的标准模型成为根本科学中最主要的事情。在上述事情中，都用到了极为深奥的数学理论。这些理论，实在已非当年的物理学家所能接管。
物理学家对真理的理解一直在改变，但个中利用到的数学理论，其精确性从来没有被人质疑过。由于它们的根本是一些难以质疑的假设，这些假设是最大略的逻辑系统，这些系统也是人类统统文明的根本。
大道至简，是对数学之美的归纳
数学家用严格的逻辑系统培植了不同的数学系统来描述大自然，从中看到统领大自然的规律。在这个过程中，我们看到大自然如何建立起自己的构造，它瑰丽壮不雅观，万物难以比拟。
大道至简，是对数学之美的归纳。最大略的数学，从1=1开始，到1+1=2，1+2=3……一直推导下去。人通过这种办法，认识到自然数，从而有了数学。人类从数学出身之初，从打算畜生、税收时开始，就认识到这些抽象观点是对事物精妙地归纳和总结。这与美有着密切的关系。数学把现实抽象为真理，而美建立于真理之上。同时，美勾引着人类不断创造真理。没有对美的追求，人类很难察觉真理的存在。数学的发展，便是有赖于人类对美的追求，感知真理并找到真理之所在。
举一个直不雅观的例子。不少画家喜好画竹子，由于竹子优雅、坚韧、颇有风骨，折射了中国知识分子精神层面的追求。画家描摹竹子的风骨，有很多办法。而对付数学家来讲，他们第一眼看到竹子，看到的是一条直线，他们也和画家一样，会为这条直线增加许多内容。
比如，直线的布局，对付数学家来讲,便是一件饶有意见意义的事情。在这条直线上，我们首先标注自然数，即整数，从1、2、3开始，这是基本的数学构造；接着，为了丰富它的布局，我们又布局了分数，比如1/2、3/4等等，密密麻麻地画在这条直线上。
下一步怎么办？希腊人布局了无理数。他们用垂直的线布局两边长为1的三角形，斜边的长度为√2——这便是希腊毕达哥拉斯学派的创造。√2便是无理数。在成功布局了无理数之后，我们在直线上又增加了一大类数字，直线上的数字更密了一些。但这还不足，我们开始用圆规和直尺布局数字，但无论如何，还是没能填满这条直线。
差不多又过了1500多年，我们才完备把直线填满，把这条竹子变成一条完备的实线。为了达到这个目标，数学家花了很多功夫，才终于对直线有了透彻的理解。这就彷佛画家费笔墨描摹竹子的意蕴，数学家也用了不少抽象的数的观点布局直线。
15世纪时，数学家开始为这根直线引入了虚数，这将我们的关注从一条直线变成二维空间——认知二维空间是人类历史上一件非常主要的事。虚数产生往后，我们对很多颠簸方程、颠簸的各类征象的理解都清楚不少。
画家笔下的波，实在也跟虚数有密切关系。但是，目前我们还无法将富有活动力的波生动地画出来，这是由于我们对虚数的理解不足清楚。虚数是研究动力系统最主要的数字，也是研究量子力学所要用到的。
从引入正整数如1、2、3等，发展到一条直线，到虚数、到圆满地阐明二维空间，再到三维空间——这个过程实在是通过数学的发展，逐步地逐步完成的。而这一起有条理地推进，除了数学严格地推理之外，还有数学家对美的追求。数学家希望达到的目标是：人看到的征象、眼中的天下，该当只管即便完备。如果存在一些尚无法描述的空间，那就不足空想，必须要加以更透彻的理解才行，这就要从数学角度绘制一个完美的图像。在数学家眼中，这个图像犹如一幅图画。从整数的点加上去变成一条直线——这令人满意。但是仅仅如此还不足，加上虚数，就可以描述二维空间；二维空间还是不足，于是就一起加上去……
数学家依赖美的指引，探求数学真理
有人会说，竹子明明不是一条线，为什么数学家这么笨，将它看作是一条线。这说得很精确，竹子的表面是一个圆柱，直线不过是描述竹子特色的第一步，这一步并不完备符合物理征象。
我们连续描述竹子。找一个固定半径的小圆圈，它和直线垂直，圆心沿着直线拉出去，就可以得到我们期待的圆柱。而描述这个圆柱最佳的数学方法是复数。加上复数的构造后，圆柱在数学上叫做黎曼面。黎曼面在描述二维空间及在当代物理学中的运用广泛，实在威力无穷。
当上述小圆圈的半径变得很小时，圆柱便是一条直线，这是高维空间能够用来描述低维度的现实界的一种方法。圆圈的半径随着圆心的位置变动时，圆柱可以变成竹节。
几何学家看竹子，可以用上述的不雅观点。但是西方科学革命的领导人伽利略大概不会这样看，由于他会研究竹子的各类物理性子，例如弹性、构造性等问题。这些问题到牛顿力学和微积分涌现后，得到了更完美的办理，数学家如费马、欧拉、拉格朗日等一贯参与个中。
近代物理学中，我们可以将直线用三维或者四维的平坦空间来代替，而圆圈可以用更繁芜的几何体来代替。一个主要的几何体便是卡拉比-丘（Calabi-Yau）空间，从中可以描述各类不同的物理征象。
以是说，数学家看一根翠竹与画家或艺术家是不同的。数学家会有条有理地通过推理不断加深理解，之后再描述它。现在，我们推理到三维空间，还是以为不足。在19世纪，开始了四元数的创造。不久后，更创造了八元数，因而进入高维空间。高维空间能够表现生活中的更多征象。高维空间是一个主要的问题，有几十、几千、几万个粒子滚动时，就形成了高维空间，而现在人工智能要到几千万维空间。高维空间里的各类征象都很美，这里头有很多真理，即数学的存在。
这便是数学家眼中的天下，以及数学家对美的追求。面对面前的万千天下，以及如此多的无法把握的征象，我们依赖美的指引，探求个中的数学真理。从一根竹子引出一条直线、到二维空间，逐渐进入高维天下，贯串衔接起来，不断丰富，发展出这个主要的学科。这个中饱含了数学的精神，从简到繁，再用一个大略的道理描述大自然最繁芜的征象，终极无限靠近真理。
无论是古希腊还是文艺复兴时期，这个精神一以贯之。文艺复兴期间的绘画艺术就与数学密不可分，从而匆匆发了几何的发展——这也解释了美与数学从来都是密不可分的。
当代数学为人工智能奠定理论根本
数学在当代科技中有浩瀚运用。比如，几何学家对付如何有效地将曲面美的特色表现出来的处理；素数的分布，椭圆曲线上整数解的俏丽理论，成为近代保密系统极为主要的工具；波的有效描述，傅立叶变换产生的位置和动量对偶，对付当代科学，乃至打算科学，产生了基本上的变革。
拿几何学而言，不仅有令人着迷的理论，在当代工程实践中发挥着巨大浸染。
当代科技须要大量薄膜学的知识，因此如何精准描述二维曲面是工程学不可短缺的学问。二维曲面的研究可以追溯到伟大的科学家欧拉，他与牛顿身处同一时期，用微积分来阐明几何学，创造了变分法来打算一些主要的几何图形。黎曼和他的老师高斯毫无疑问是当代几何学的两位奠基人。高斯是当代几何学的先父，而真正的创始人是黎曼，在19世纪中期提出了黎曼几何和共形几何理论，不仅在理论物理中起到关键的浸染，还在打算机图形学、几何建模、医学图像得到广泛运用。
我和我的学生顾险峰用黎曼曲面的方法发展出来的理论，往后发展成为图像学中主要的分支——打算共形几何。
打算共形几何数学方面的核心脉络是证明单值化定理解的存在性、唯一性、正则性、适定性，特殊是如何推广到离散曲面；打算机科学方面的核心是如何设打算法，打算出单值化定理。在打算机中，将光滑曲面用离散曲面来表示，将当代拓扑和微分几何中的理论推广到离散环境，用打算机去实现抽象的几何理念，可以得到很好的工程实践。
共形几何是研究共形变换下不变量的学问。所谓共形映射便是保持角度不变的映射。例如，我们将三维人脸曲面映射到二维平面圆盘，在人脸上随意画上两条相交的曲线，曲面上的曲线被映射到平面曲线，但是相交角度不变。由于保角变换具有唯一性，因此很随意马虎去做人脸比对。
当前，人工智能和数据科学的技能已被广泛运用于临床诊断、手术辅导、风险预测平分歧领域。可以说，当代数学为人工智能奠定了理论根本，且为人工智能打破瓶颈指明了发展方向。另一方面，人工智能也为数学提出了寻衅，推动了数学的发展。
盘点20世纪科技的重大变革，其根本在于人类对付物质构造的深入理解。相对论和量子力学是这些学问的根本，数学家对这些学问都有深入的贡献。自从20世纪70年代高能物理学的标准模型培植成功，统一了物理学三个不同的场往后，物理学家的最大欲望是如何将引力放在标准模型中。这个领悟须要极有创意的不雅观念的打破，我相信它对我们期待的科技打破——量子打算，会有深度的影响。如何布局量子几何学，将会是一个主要的里程碑，也是真和美的结合。
万物之散聚兴灭，天地宇宙之构造，人事社会经济之脉络，莫不与根本数学有关。数学能够供应真和美，中华五千年哀求的善，孔孟所说的仁和义，都可以在真和美中探求，也便是说，可从数学学海中呼之而出。以是根本数学，是立国的基本，东西文化的桥梁。中华文化能够传承下去，千万年不衰，不能不看重根本数学。
文：丘成桐（清华大学求真书院院长、菲尔兹奖首位华人得主。本文为丘成桐教授8月17日在上海数学与交叉学科研究院的演讲，部分内容来自《数理人文》。作者授权刊登，未经容许，不得转载。）
图：题图来自视觉中国，文中图片由丘成桐供应
编辑：储舒婷
