先把观点捋清楚一下。
中国诗歌分为当代诗和古代诗。当代诗便是题主指的“当代新诗”，而古代诗却不止题主括号里的律诗和绝句。律诗和绝句属于古诗中的近体诗，都是严格遵守平仄格律的诗歌形式，但是还有大量不遵守平仄格式的诗，或者创造早于平仄观点产生期间的诗，我们统称为古体诗。
当代诗和格律诗的差异以是，如果这个问题是当代诗和近体诗（律诗、绝句、排律）的最根本差异，那毫无疑问是是否遵守平仄格律。
平仄格律是在汉字平仄的根本上，固化了诗句的平仄组成，精确到每一个字的平仄，都可以在平仄格式中推导。虽然会有“一三五不论”的讲法，但是在格律诗的诗句关键位置，平仄一定是固定的，因此两个音节交替变革涌现。如果不遵守这个原则，就不是近体诗，而是古风了。
平仄我们本日笼统来讲，除了入声字之外，大致一二声入平，三四声入仄。虽然用本日发音来区分平仄并禁绝确，但是在开始学诗的时候是没有问题的。
近体诗的四种基本格式是“仄起仄收，仄起平收，平起仄收，平起平收”，不论是五言，还是七言，不论是绝句，还是律诗，或者排律，都是首句从这几种格式起笔，然后再根据平仄推导原则推导出整首诗的平仄关系，并在创作诗作的时候严格遵守。
如“两个黄鹂鸣翠柳”，平仄为“仄仄平平平仄仄”，这便是“仄起仄收”格式，根据“对”的原则推出第二句，“平平仄仄仄平平”，我们看第二句“一行白鹭上晴天”，除了首字“一”之外，其他字都是合平仄的。第三句要和第二句相黏，却要以仄音断句，以是会对平仄做出小改动，“平平仄仄平平仄”，“窗含西岭千秋雪”，字字合律，再根据对句原则，推出第四句平仄“仄仄平平仄仄平”，“门泊东吴万里船”除了首字“门”之外，别的皆合律。以是这是一首严格合平仄格律的七绝。
当代诗句式都不整饬，自然不会把自身的汉字发音来套用这一套近体诗的平仄规则。
但是，当代诗是不是就不讲音韵呢？答案是否定的。
诗是韵文。不管当代诗还是古代诗，都是必须押韵，并且在创作过程中必须契合措辞发音习气的，也便是必须畅通、上口、抑扬抑扬、高低有致，让读者吟诵起来能够找准发音的合理性以及音律的美感。如果一首诗念起来磕磕绊绊，怎么可能口口相传，表情言志？
以是当代诗也是讲音律美的，只是不屈服近体诗的那套固定平仄规则而已。这是当代新诗和古典近体诗的最主要差异。
当代诗和古体诗的差异
但是古典诗还有开始提到的古风，如果题主问的是当代新诗和古典诗（包括古体诗和近体诗）的最根本差异，那又该如何回答呢？
古体诗不遵守平仄格律，那么在创作的时候和当代诗就极其相似了。不在乎句式是非，不用一韵到底，不用对仗成句，内容上也可以跳出格律诗的“起承转合”，浪漫恣肆，为所欲为。以是，古体诗在创作时和激情发达的当代诗是一样的。
平仄涌现之前我们不谈论，平仄涌现之后的古体诗，很大一部分缘故原由便是由于不喜好格律对创作的限定，才没有在格律诗涌现后冷落，而是和近体诗齐头并进、一同发展，成为中国古诗的两大派别。
我们乃至可以这么看，古体诗便是当时的当代诗。
当代新诗和古典诗的差异
而古体诗和近体诗的差异在于平仄格律，他们的共同点是精髓精辟文言文，即古代书面措辞而成。
而当代诗是在口语文（当代书面措辞）的根本上写成。
今古书面措辞系统的不同，便是当代诗和古诗（古体、近体）最根本、最底层的差异。
